"이번 달만 넘기자"가 8년이 될 수 있다고? 카드 리볼빙 속 지수함수의 함정
안녕하세요! 강서구 화곡동 한마음영수학원입니다.
수학 시간에 학생들이 가장 많이 하는 질문이 있죠.
"이런 걸 배워서 어디에 써먹어요?"
오늘은 그 질문에 아주 현실적인 답을 드려 보려고 합니다. 카드 결제일이 다가올 때 한 번쯤 유혹받게 되는 리볼빙(일부결제금액이월약정) 이야기입니다.
이 서비스 안에는 수학Ⅰ(2022 개정 교육과정의 '대수') 지수함수, 로그, 등비수열이 그대로 들어 있습니다.
1. 리볼빙, 어떤 서비스일까요?
리볼빙은 이번 달 카드 대금 중 약정한 비율만 결제하고, 나머지는 다음 달로 넘기는 서비스입니다.
최소결제비율이 10% 정도인 경우가 많아서, 100만 원을 썼어도 당장은 10만 원만 내면 됩니다. 당장 숨통이 트이니 구세주처럼 느껴지지요.
하지만 넘긴 잔액에는 수수료(이자)가 붙습니다. 여신금융협회 공시상 카드사별 평균 수수료율은 대략 연 15%에서 19%대이고, 법정 최고금리는 연 20%입니다. 수수료율은 카드사와 시점, 개인 신용도에 따라 다릅니다.
이 정도면 사실상 고금리 대출이지요. 지금부터 수학으로 확인해 보겠습니다.
2. 계속 넘기기만 하면? 지수함수 모형
가장 단순한 경우부터 봅시다. 이월된 잔액을 전혀 상환하지 않고 계속 넘기기만 한다고 가정합니다. (수학적으로 단순화한 극단적인 경우입니다. 실제로는 약정 비율 이상을 결제해야 하고, 결제하지 못하면 연체가 됩니다.)
a : 처음 이월잔액
r : 월 수수료율 (연 18%라면 18% ÷ 12 = 월 1.5%)
x : 지난 개월 수
x개월 뒤 잔액 f(x)는 이렇게 됩니다.
f(x) = a × (1 + r)^x
매달 잔액이 1.015배씩 곱해지니, 공비가 1.015인 등비수열과 같은 구조입니다.
100만 원, 월 1.5%를 대입해 보겠습니다. 원금에만 이자가 붙어 매달 1.5만 원씩 늘어나는 일차(단리) 증가와 비교해 볼까요? (단위: 만 원)
12개월 후 : 일차 118.0 / 지수 약 119.6 (차이 약 1.6)
36개월 후 : 일차 154.0 / 지수 약 170.9 (차이 약 16.9)
60개월 후 : 일차 190.0 / 지수 약 244.3 (차이 약 54.3)
120개월 후 : 일차 280.0 / 지수 약 596.9 (차이 약 316.9)
1년까지는 두 값이 거의 비슷합니다. 이것이 함정입니다. "별로 안 늘었네?" 하고 방심하는 사이에 차이가 벌어집니다.
지수함수의 정확한 성질은 이렇습니다.
① 증가율은 매달 1.5%로 일정합니다.
② 증가량은 잔액이 커질수록 계속 커집니다. (잔액 100만 원일 땐 월 1.5만 원, 200만 원일 땐 월 3만 원)
지수함수는 일차함수와 달리 "증가량이 매달 커지는 함수"입니다.
[로그로 구하는 "잔액이 2배 되는 시간"]
1.015^n = 2 를 만족하는 n을 구해 봅시다. 양변에 로그를 취합니다.
n = log 2 ÷ log 1.015 ≈ 46.6
약 47개월, 4년이 채 안 되어 잔액이 2배가 됩니다. 그리고 다음 47개월이 지나면 또 2배, 즉 처음의 4배가 됩니다.
지수적 증가에서 "n을 구하는 도구"가 바로 로그입니다.
3. 현실은 "갚으면서" 늘어납니다: 점화식으로 보기
실제로는 매달 일정 금액을 갚으니, 다음 점화식이 더 현실에 가깝습니다.
다음 달 잔액 = 이번 달 잔액 × 1.015 − 상환액
이월잔액 100만 원, 월 1.5%일 때 매달 첫 이자는 15,000원입니다. 매달 같은 금액을 갚을 때 완납까지 걸리는 기간은 이렇습니다.
(완납 기간 공식 : n = −log(1 − 15,000 ÷ 상환액) ÷ log 1.015)
매달 15,000원(이자만) : 끝나지 않음 (원금 그대로)
매달 20,000원 : 약 93개월(7년 9개월) / 총 상환 약 186만 원 / 낸 이자 약 86만 원
매달 30,000원 : 약 47개월(3년 11개월) / 총 상환 약 140만 원 / 낸 이자 약 40만 원
매달 50,000원 : 약 24개월 / 총 상환 약 120만 원 / 낸 이자 약 20만 원
매달 100,000원 : 약 11개월 / 총 상환 약 109만 원 / 낸 이자 약 9만 원
위 계산은 새 카드 사용 없이 이월잔액만 갚는다고 가정한 것입니다. 눈에 띄는 점이 두 가지 있습니다.
① 이자(15,000원)보다 5,000원만 더 내도 8년 가까이 걸립니다. 상환액이 이자 근처에 머물수록 원금이 거의 줄지 않기 때문입니다.
② 거기서 1만 원만 더 내서 3만 원이 되면 기간은 절반(약 47개월)으로 줄고, 낸 이자도 86만 원에서 약 40만 원으로 줄어듭니다.
상환액과 기간의 관계는 비례가 아니라 로그 꼴입니다. 그래서 이자 바로 위 구간에서는 상환액을 조금만 늘려도 기간이 크게 줄어듭니다.
※ 이 글의 모형은 수학 학습을 위해 단순화한 것입니다. 실제로는 수수료가 일반적으로 "이월잔액 × 연 수수료율 × 이용일수 ÷ 365" 방식으로 일수 계산되어 월별 이자가 조금씩 달라지고, 수수료가 잔액에 합산되어 다시 수수료를 낳는지, 신규 이용분을 어떻게 처리하는지는 카드사 약관에 따라 다릅니다. 이용 중인 카드사의 약관과 명세서를 꼭 확인하세요.
출처 : 여신금융협회 카드사 리볼빙 수수료율 공시, 금융감독원 안내 자료 (수치는 시점에 따라 달라질 수 있습니다)
4. 수학이 알려주는 탈출 방향
수식에서 그대로 읽히는 방향입니다.
① 상환액을 키우세요. 이자보다 조금이라도 많이 갚는 순간부터 원금이 줄기 시작합니다.
② 이월잔액을 먼저 줄이세요. 금융감독원도 여유 자금이 생기면 이월잔액을 먼저 갚으라고 안내합니다.
③ 이율을 확인하세요. 카드사 앱이나 명세서에서 이월잔액, 약정결제비율, 적용 수수료율을 확인할 수 있습니다.
④ 신규 사용과 함께 쓰면 더 위험합니다. 새로 쓴 금액이 계속 더해지면 잔액은 줄지 않고 유지되거나 늘어납니다.
개인 상황에 맞는 해지, 다른 상환 방법과의 비교는 카드사나 금융감독원 상담을 통해 확인하시길 권합니다. 이 글은 금융 조언이 아닌 수학 학습 자료입니다.
5. 시험에 나오는 함정 4가지 (수학Ⅰ)
① 이율 단위 불일치 : 기간 x를 "개월"로 잡았다면 r도 월 이율이어야 합니다. 연 18%를 그대로 넣으면 틀립니다.
② 월복리와 연복리 혼동 : 문제에 "월복리"라고 되어 있으면 월 이율은 (연이율 ÷ 12)입니다. 연복리 조건에서 월 환산이 필요하면 (1 + 연이율)^(1/12) − 1 로 구합니다. 문제 조건부터 읽으세요.
③ 증가량과 증가율 혼동 : 지수함수는 증가율이 일정하고 증가량은 계속 커집니다. 일차함수는 증가량이 일정하고, 증가율은 점점 작아집니다.
④ 로그로 지수 내리기 : 1.015^n = 2 는 양변에 로그를 취해 n × log 1.015 = log 2, 즉 n = log 2 ÷ log 1.015 로 풀 수 있어야 합니다. 로그 값이 문제에 주어지는 경우가 많으니 계산 실수를 조심하세요.
핵심정리 3줄
① 복리의 잔액은 f(x) = a(1 + r)^x 이며, 증가율은 일정하고 증가량은 커집니다.
② 잔액이 2배 되는 시간 같은 기간은 로그로 구합니다.
③ 갚는 경우의 점화식에서는 상환액이 이자를 겨우 넘기는 구간이 가장 위험하고, 그 구간에서는 상환액을 조금만 늘려도 기간이 크게 줄어듭니다.
수학은 삶의 내비게이션입니다
많은 학생들이 수학을 "공식 외우기"나 "시험 점수"로만 생각합니다. 하지만 오늘처럼 카드 명세서 한 장, 앱 속 숫자 하나도 수학을 알면 다르게 읽힙니다.
한마음영수학원은 공식을 외우게 하는 공부가 아니라, 왜 그렇게 되는지 이해하는 공부로 학생들의 생각하는 힘을 키웁니다.
