안녕하세요? 한마음영수학원입니다!
매일 이어폰으로 즐겨 듣는 MP3 음악, 그 작은 파일 속에 고등학교에서 배우는 삼각함수와 정적분이 숨어 있다는 사실, 알고 계셨나요?
오늘은 복잡한 소리를 수학으로 쪼개고 압축하는 푸리에 변환(Fourier Transform)의 세계로 떠나 보겠습니다.
1. 우리가 듣는 소리는 하나의 함수다!
음악, 목소리, 악기 소리는 모두 공기의 떨림이 만드는 소리 파형(Waveform)으로 전달됩니다.
이 파형은 시간이 지남에 따라 세기가 변하므로 "시간 t에 따른 함수"로 나타낼 수 있습니다.
가장 단순한 소리는 사인함수 하나로 나타나는 소리입니다. 기준음을 내는 소리굽쇠의 '라(A4)' 음이 여기에 가깝고, 1초에 440번 진동합니다.
반면 피아노가 같은 '라'를 내면 440Hz 기본음에 880Hz, 1320Hz 같은 배음이 함께 섞여 훨씬 풍부한 소리가 됩니다.
피아노, 기타, 목소리가 동시에 울리는 실제 음악은 더 많은 파동이 겹쳐져 아주 복잡한 모양의 함수가 됩니다.
2. 복잡한 파형을 단순한 삼각함수로 분해한다: 푸리에의 아이디어
프랑스의 수학자 푸리에(Joseph Fourier)는 열이 퍼지는 현상을 연구하다가 중요한 생각을 내놓았습니다.
규칙적으로 반복되는 복잡한 함수도 진동수가 다른 사인·코사인 함수를 더해서 만들 수 있다는 생각입니다.
이것이 푸리에 급수입니다. 대표적인 예가 네모난 모양의 파동(사각파)입니다.
높이가 ±1이고 주기가 2π인 사각파는 사인함수들을 더해 만들 수 있습니다.
사각파 ≈ (4/π) × { sin x + (1/3)sin 3x + (1/5)sin 5x + … }
항을 많이 더할수록 각진 사각파에 가까워집니다. 곡선만으로 네모를 만드는 마법 같은 일이죠.
여기서 한 단계 더 나아가 주기가 없는 신호까지 "어떤 진동수가 얼마나 들어 있는가"로 분석하는 도구가 푸리에 변환입니다. 소리를 시간의 함수에서 진동수(주파수)의 함수로 바꿔 보는 셈입니다.
3. 고등학교 수학과는 어떻게 연결될까?
푸리에 변환 자체는 대학에서 배우는 내용이지만, 그 뿌리는 우리가 배우는 삼각함수와 정적분입니다.
각 성분이 얼마나 들어 있는지는 정적분으로 골라냅니다. 성분끼리 곱해서 한 주기(0에서 2π) 동안 적분하면 이런 결과가 나옵니다.
▶ 서로 다른 성분: sin x · cos x = (1/2) sin 2x 이므로 적분하면 0
▶ 같은 성분: sin x · sin x = sin²x 를 적분하면 π
진동수가 다른 사인함수끼리 곱해 적분해도 마찬가지로 0이 됩니다. 서로 다른 성분끼리는 0이 되고, 같은 성분끼리만 값이 남습니다. 그래서 섞인 소리에서 원하는 성분만 골라낼 수 있습니다.
4. MP3 파일이 가벼워진 비결: 손실 압축
CD 음질의 소리는 1초에 44,100번 소리를 기록하고, 한 번에 16비트씩, 좌우 2채널로 저장합니다. 계산하면 초당 약 141만 비트, 즉 약 1,411kbps입니다.
3분짜리 노래라면 약 32MB가 되는 큰 용량이죠. 같은 곡을 128kbps MP3로 만들면 약 3MB, 대략 11분의 1로 줄어듭니다.
MP3는 푸리에 변환과 같은 계열의 수학(MDCT)으로 소리를 진동수 성분별로 나눈 뒤, 사람의 귀가 잘 느끼지 못하는 성분을 덜어 냅니다.
▶ 사람이 들을 수 없는 아주 높은 진동수
▶ 큰 소리에 가려져 들리지 않는 작은 소리(마스킹 효과)
이렇게 원래 소리의 일부를 버리는 방식을 손실 압축이라고 합니다. 완전히 똑같지는 않지만 사람의 귀에는 거의 차이가 느껴지지 않도록 설계한 것입니다.
5. 시험 함정! 이런 실수 조심하세요
함정 ①: 정적분 값 = 넓이라고 착각하기
∫(0→π) sin x dx = 2 이지만 ∫(0→2π) sin x dx = 0 입니다. x축 아래 부분은 음수로 계산되기 때문입니다. 넓이를 구할 때는 구간을 나눠 절댓값으로 계산해야 하며, 0에서 2π까지의 실제 넓이는 4입니다.
함정 ②: sin(kx)의 주기를 그대로 2π로 쓰기
sin(kx)의 주기는 2π/k 입니다. sin 2x의 주기는 π, sin 3x의 주기는 2π/3 입니다.
함정 ③: 진동수와 주기 혼동하기
진동수 f 와 주기 T 는 f = 1/T 관계입니다. 440Hz는 1초에 440번 진동하니 주기는 1/440초입니다.
핵심정리 3줄
- 소리는 시간에 따른 함수이고, 복잡한 소리는 여러 사인·코사인 함수의 합으로 나타낼 수 있다.
- 푸리에 변환은 소리를 진동수 성분으로 분해하고, 그 밑바탕에는 삼각함수와 정적분이 있다.
- MP3는 귀가 못 느끼는 성분을 덜어 내는 손실 압축으로 용량을 약 11분의 1로 줄인다.
한마음영수학원 한마디
"수학 공식이 막연히 어렵고 지루하게 느껴지나요? 내가 좋아하는 음악, 매일 손에 쥐고 사는 스마트폰 속에도 우리가 배우는 삼각함수와 적분이 살아 숨 쉬고 있습니다. 원리를 이해하면 수학은 암기 과목이 아니라 세상의 비밀을 푸는 언어가 됩니다!"
